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高中数学竞赛第三章函数练习题

试题 时间:2018-07-26 我要投稿
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  第三章 函数

  一、基础知识

  例2 求函数f(x)= 的最大值。

  五、联赛一试水平训练题

  1.奇函数f(x)存在函数f-1(x),若把=f(x)的图象向上平移3个单位,然后向右平移2个单位后,再关于直线=-x对称,得到的曲线所对应的函数是________.

  2.若a>0,a 1,F(x)是奇函数,则G(x)=F(x) 是________(奇偶性).

  3.若 =x,则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x);②F(-x)= ;③F(x-1)=F(x);④F(F(x))=-x.

  4.设函数f:R→R满足f(0)=1,且对?#25105;鈞,∈R,都有f(x+1)=f(x)f()-f()-x+2,则f(x)=________.

  5.已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且对?#25105;鈞∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)= ________.

  6. 函数f(x)= 的单调递增区间是________.

  7. 函数f(x)= 的奇偶性是:________奇函数,________偶函数(填是,非)。

  8. 函数=x+ 的值域为________.

  9.设f(x)= ,

  对?#25105;?#30340;a∈R,记V(a)=ax{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-in{f(x)-ax|x∈[1, 3]},试求V(a)的最小值。

  10.解方程组: (在实数范围内)

  11.设∈N+, f: N+→N+满足:(1)f(x)严格递增;(2)对?#25105;鈔∈N+, 有f[f(n)]=n,求证:对?#25105;鈔∈N+, 都有 n≤f(n)≤

  六、联赛二试水平训练题

  1.求证:恰有一个定义在所有非零实数上的函数f,满足:(1)对?#25105;鈞≠0, f(x)=xf ;(2)对所有的x≠-且x≠0,有f(x)+f()=1+f(x+).

  2.设f(x)对一切x>0有定义,且满足:(ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)?#25105;鈞>0, f(x)f =1,试求f(1).

  3. f:[0,1]→R满足:(1)?#25105;鈞∈[0, 1], f(x)≥0;(2)f(1)=1;(3)当x, , x+∈[0, 1]时,f(x)+f()≤f(x+),试求最小常数c,对满足(1),(2),(3)的函数f(x)都有f(x)≤cx.

  4. 试求f(x,)=6(x2+2)(x+)-4(x2+x+2)-3(x+)+5(x>0, >0)的最小值。

  5.对给定的正数p,q∈(0, 1),有p+q>1≥p2+q2,试求f(x)=(1-x) + 在[1-q,p]上的最大值。

  6.已知f: (0,1)→R且f(x)= .

  当x∈ 时,试求f(x)的最大值。

  7.函数f(x)定义在整数集上,且满足f(n)= ,求f(100)的值。

  8.函数=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角 后不变。(1)求证:方程f(x)=x恰有一个解;(2)试给出一个具有上述性质的函数。

  9.设Q+是正有理数的集合,试构造一个函数f: Q+→Q+,满足这样的条件:f(xf())= x, ∈Q+.

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